Na matemática, reduzir a um único radical significa simplificar uma expressão que envolve raízes quadradas, de modo que seja possível escrevê-la em uma única raiz quadrada. Essa técnica é muito utilizada para facilitar cálculos e tornar as expressões mais claras e concisas.

Exemplo

Considere a expressão:

$$\sqrt{2} + \sqrt{8}$$

Para reduzi-la a um único radical, é necessário simplificar a raiz quadrada de 8. Como 8 é igual a 4 vezes 2, podemos escrever:

$$\sqrt{2} + \sqrt{4 \cdot 2}$$

Em seguida, podemos aplicar a propriedade distributiva da raiz quadrada:

$$\sqrt{2} + \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}$$

Como a raiz quadrada de 4 é igual a 2, podemos substituir esse valor:

$$\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$$

Agora, podemos simplificar a expressão, somando as duas raízes quadradas:

$$\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$

Portanto, a expressão original $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ pode ser reduzida a um único radical, que é $3\sqrt{2}$.

Passo a passo para reduzir a um único radical

Para reduzir uma expressão a um único radical, siga os seguintes passos:

1. Identifique as raízes quadradas presentes na expressão.
2. Simplifique as raízes quadradas que envolvem números inteiros perfeitos.
3. Agrupe as raízes quadradas que envolvem o mesmo número.
4. Utilize a propriedade distributiva da raiz quadrada para simplificar a expressão.
5. Simplifique a expressão, somando ou subtraindo as raízes quadradas, se possível.

Propriedades da raiz quadrada

Para reduzir uma expressão a um único radical, é importante conhecer algumas propriedades da raiz quadrada:

• Propriedade da multiplicação: se a e b são números não negativos, então $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
• Propriedade da divisão: se a e b são números não negativos, então $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, desde que b seja diferente de zero.
• Propriedade distributiva: para qualquer número não negativo a e b, temos $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$, mas sim $\sqrt{a+b} = \sqrt{a + 2\sqrt{ab} + b} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.

Outros exemplos

Exemplo 1

Reduza a um único radical a expressão:

$$\sqrt{3} – \sqrt{12} + 2\sqrt{27}$$

Primeiramente, podemos simplificar a raiz quadrada de 12, escrevendo:

$$\sqrt{3} – \sqrt{4 \cdot 3} + 2\sqrt{27}$$

Em seguida, aplicamos a propriedade distributiva da raiz quadrada:

$$\sqrt{3} – 2\sqrt{3} + 2\sqrt{9 \cdot 3}$$

Simplificando a raiz quadrada de 9, temos:

$$\sqrt{3} – 2\sqrt{3} + 2\sqrt{9} \cdot \sqrt{3}$$

Substituindo o valor da raiz quadrada de 9, temos:

$$\sqrt{3} – 2\sqrt{3} + 2 \cdot 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$$

Portanto, a expressão $\sqrt{3} – \sqrt{12} + 2\sqrt{27}$ pode ser reduzida a um único radical, que é $5\sqrt{3}$.

Exemplo 2

Reduza a um único radical a expressão:

$$\sqrt{12} – 2\sqrt{3} + \sqrt{27}$$

Podemos simplificar a raiz quadrada de 12, escrevendo:

$$\sqrt{4 \cdot 3} – 2\sqrt{3} + \sqrt{9 \cdot 3}$$

Em seguida, aplicamos a propriedade distributiva da raiz quadrada:

$$\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} – 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$$

Substituindo o valor da raiz quadrada de 4, temos:

$$2\sqrt{3} – 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$

Portanto, a expressão $\sqrt{12} – 2\sqrt{3} + \sqrt{27}$ pode ser reduzida a um único radical, que é $3\sqrt{3}$.

Conclusão

A técnica de reduzir a um único radical é muito útil na matemática, pois ajuda a simplificar expressões que envolvem raízes quadradas. Para isso, é necessário identificar as raízes quadradas presentes na expressão, simplificar as raízes quadradas que envolvem números inteiros perfeitos, agrupar as raízes quadradas que envolvem o mesmo número e utilizar a propriedade distributiva da raiz quadrada para simplificar a expressão. Conhecendo as propriedades da raiz quadrada e seguindo esses passos, é possível reduzir qualquer expressão a um único radical.

FAQs

1. Por que é importante reduzir uma expressão a um único radical?

Reduzir uma expressão a um único radical é importante porque torna a expressão mais simples e fácil de se trabalhar. Além disso, expressões reduzidas a um único radical são mais claras e concisas, facilitando a compreensão do problema matemático em questão.

2. Em que tipo de problemas matemáticos a técnica de reduzir a um único radical é útil?

A técnica de reduzir a um único radical é útil em problemas matemáticos que envolvem raízes quadradas, como cálculo de áreas e volumes, resolução de equações e identificação de padrões numéricos.

3. Existe alguma situação em que não é possível reduzir uma expressão a um único radical?

Sim, existem situações em que não é possível reduzir uma expressão a um único radical. Isso ocorre quando os números envolvidos na expressão não possuem fatores quadráticos comuns ou quando não é possível aplicar as propriedades da raiz quadrada de forma a simplificar a expressão.