Uma equação de 1 grau com duas incógnitas é uma equação matemática que envolve duas variáveis ou incógnitas e cujos termos possuem expoente 1. Essas equações são do tipo:

ax + by = c

Onde “a” e “b” são os coeficientes das variáveis “x” e “y”, respectivamente, e “c” é o termo constante. O objetivo é encontrar os valores de “x” e “y” que satisfaçam a equação.

Resolução de uma equação de 1 grau com duas incógnitas

Existem diferentes métodos para resolver uma equação de 1 grau com duas incógnitas. Um dos mais comuns é o método de substituição, que consiste nos seguintes passos:

1. Isolar uma das variáveis em uma das equações;
2. Substituir essa variável na outra equação;
3. Resolver a equação resultante com uma única variável;
4. Substituir o valor encontrado na primeira equação para encontrar o valor da outra variável.

Vamos ver um exemplo:

2x + y = 7

3x – y = 5

Passo 1: isolar “y” na primeira equação:

y = 7 – 2x

Passo 2: substituir “y” na segunda equação:

3x – (7 – 2x) = 5

Passo 3: resolver a equação resultante com uma única variável:

3x – 7 + 2x = 5

5x = 12

x = 2,4

Passo 4: substituir o valor encontrado na primeira equação para encontrar o valor da outra variável:

2(2,4) + y = 7

4,8 + y = 7

y = 2,2

Portanto, a solução do sistema é x = 2,4 e y = 2,2.

Representação gráfica de uma equação de 1 grau com duas incógnitas

Uma equação de 1 grau com duas incógnitas pode ser representada graficamente por uma reta no plano cartesiano. Para isso, basta isolar uma das variáveis em cada equação e construir uma tabela com alguns valores para a outra variável. Em seguida, plotam-se os pontos correspondentes e traça-se a reta que passa por eles.

Vamos ver um exemplo:

2x + y = 7

3x – y = 5

Isolando “y” na primeira equação, temos:

y = 7 – 2x

Isolando “y” na segunda equação, temos:

y = 3x – 5

A tabela com alguns valores para “x” e “y” é:

Os pontos correspondentes são:

• P1 = (-2,11)
• P2 = (-1,9)
• P3 = (0,7)
• P4 = (1,5)
• P5 = (2,3)
• P6 = (3,1)
• P7 = (4,-1)

E a representação gráfica fica:

Observe que a reta azul representa a primeira equação e a reta vermelha representa a segunda equação. O ponto de interseção das duas retas é a solução do sistema (2,2).

Importância das equações de 1 grau com duas incógnitas

As equações de 1 grau com duas incógnitas são importantes em diversas áreas da matemática e da física, pois permitem modelar situações que envolvem duas variáveis diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Alguns exemplos são:

• Problemas de otimização (como maximização de lucro ou minimização de custo) em que duas grandezas estão relacionadas;
• Problemas de geometria analítica envolvendo retas e planos no espaço tridimensional;
• Problemas de física envolvendo movimentos em duas dimensões, como lançamentos de projéteis;
• Problemas de economia envolvendo oferta e demanda de produtos.

Conclusão

As equações de 1 grau com duas incógnitas são fundamentais para a compreensão de diversas áreas da matemática e da física. Saber resolvê-las e interpretá-las graficamente é importante para a compreensão de conceitos como proporção, função linear e geometria analítica.

FAQs

1. Como saber se uma equação é de 1 grau?

Uma equação é de 1 grau quando todos os seus termos possuem expoente 1. Por exemplo, 2x + 3 é uma equação de 1 grau, enquanto 2x² + 3x – 1 é uma equação de 2 grau.

2. É possível ter mais de uma solução para uma equação de 1 grau com duas incógnitas?

Sim. Uma equação de 1 grau com duas incógnitas pode ter uma única solução, nenhuma solução (quando as retas são paralelas) ou infinitas soluções (quando as retas coincidem).

3. Como representar graficamente uma equação de 1 grau com três incógnitas?

Uma equação de 1 grau com três incógnitas envolve três variáveis e pode ser representada graficamente por um plano no espaço tridimensional. Para isso, basta isolar uma das variáveis em cada equação e construir uma tabela com alguns valores para as outras duas variáveis. Em seguida, plotam-se os pontos correspondentes e traça-se o plano que passa por eles.