Para responder a esta pergunta, é necessário entender o que é um plano cartesiano e como construir gráficos de funções nele.

O que é um plano cartesiano?

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas que utiliza duas retas perpendiculares, uma horizontal e outra vertical, para representar dados numéricos. A reta horizontal é chamada de eixo x e a vertical é chamada de eixo y. O ponto onde essas duas retas se cruzam é chamado de origem.

No plano cartesiano, cada ponto é representado por um par ordenado (x, y), onde x é a coordenada no eixo x e y é a coordenada no eixo y. Essa representação é muito utilizada em matemática para representar dados numéricos e, em especial, para construir gráficos de funções.

Como construir gráficos de funções no plano cartesiano?

Para construir um gráfico de uma função no plano cartesiano, é necessário seguir alguns passos:

1. Definir o domínio da função, ou seja, o conjunto de valores de x para os quais a função está definida;
2. Calcular o valor da função para cada valor de x no domínio;
3. Representar cada ponto (x, y) no plano cartesiano, onde x é o valor do domínio e y é o valor da função calculado no passo anterior;
4. Unir os pontos com uma curva suave para representar o gráfico da função.

Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = 2x + 1:

1. O domínio da função é o conjunto de todos os valores de x;
2. Para calcular o valor da função para cada valor de x, basta substituir x na expressão da função e simplificar. Por exemplo, se x = 0, então y = 2*0 + 1 = 1. Se x = 1, então y = 2*1 + 1 = 3. E assim por diante;
3. Os pontos (0, 1), (1, 3), (2, 5), (-1, -1), (-2, -3), etc., podem ser representados no plano cartesiano;
4. Unindo esses pontos com uma curva suave, obtemos o gráfico da função.

O resultado é um gráfico de uma reta inclinada, que passa pela origem e tem uma inclinação de 2 (ou seja, para cada unidade de aumento em x, y aumenta duas unidades).

Como construir gráficos de várias funções no mesmo plano cartesiano?

Para construir gráficos de várias funções no mesmo plano cartesiano, basta seguir os mesmos passos descritos anteriormente para cada função e representar os pontos correspondentes no mesmo plano cartesiano. É importante escolher cores diferentes ou tipos de traço diferentes para cada função, para que elas possam ser distinguíveis no gráfico final.

Por exemplo, vamos construir o gráfico das funções y = x^2 e y = -x^2 no mesmo plano cartesiano:

1. O domínio de ambas as funções é o conjunto de todos os valores de x;
2. Para calcular o valor da função para cada valor de x, basta substituir x na expressão da função e simplificar. Por exemplo, se x = 0, então y = 0^2 = 0 para ambas as funções. Se x = 1, então y = 1^2 = 1 para a primeira função e y = -1^2 = -1 para a segunda função. E assim por diante;
3. Os pontos (0, 0), (1, 1), (2, 4), (-1, 1), (-2, 4), etc., podem ser representados no plano cartesiano para a primeira função, e os pontos (0, 0), (1, -1), (2, -4), (-1, -1), (-2, -4), etc., podem ser representados para a segunda função;
4. Unindo esses pontos com uma curva suave, obtemos o gráfico de cada função;
5. Os dois gráficos podem ser representados no mesmo plano cartesiano, com cores diferentes ou tipos de traço diferentes para cada função;
6. O resultado é um gráfico com duas curvas simétricas em relação ao eixo y, uma com concavidade para cima e outra com concavidade para baixo.

Conclusão

Construir gráficos de funções no plano cartesiano é uma habilidade fundamental em matemática e em muitas outras áreas, como física, engenharia, economia e ciência da computação. Saber como representar várias funções no mesmo plano cartesiano é uma extensão natural dessa habilidade e pode ser muito útil para comparar diferentes comportamentos de funções em um mesmo contexto.

FAQs

1. Qual é a importância de construir gráficos de funções no plano cartesiano?

A construção de gráficos de funções no plano cartesiano é importante porque permite visualizar o comportamento da função em relação aos valores de x e y. Isso pode ser muito útil para entender a relação entre variáveis em um problema, para identificar padrões ou tendências em um conjunto de dados, para construir modelos matemáticos de fenômenos naturais ou sociais, entre outras aplicações.

2. O que é um par ordenado?

Um par ordenado é uma representação de um ponto no plano cartesiano, que consiste em dois números, chamados de coordenadas, separados por uma vírgula e escritos entre parênteses. O primeiro número representa a coordenada no eixo x e o segundo número representa a coordenada no eixo y. Por exemplo, o par ordenado (3, 5) representa o ponto que está a três unidades do eixo x e a cinco unidades do eixo y.

3. É possível construir gráficos de funções mais complexas no plano cartesiano?

Sim, é possível construir gráficos de funções mais complexas no plano cartesiano, como funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, polinomiais, entre outras. Para isso, é necessário entender as propriedades dessas funções e como elas se comportam em diferentes regiões do plano cartesiano. Em geral, essas funções têm gráficos mais elaborados, com curvas mais complexas e pontos de inflexão, singularidades, assíntotas, entre outras características.