Introdução

Equações lineares são equações que envolvem somente somas e subtrações de variáveis elevadas a primeira potência. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares que devem ser resolvidas simultaneamente. Neste artigo, vamos considerar um sistema de equações lineares específico e entender como podemos resolvê-lo.

O Sistema de Equações Lineares

Considere o seguinte sistema de equações lineares: 3x + 2y – z = 1 2x – 2y + 4z = -2 -x + (1/2)y – z = 0 Este sistema possui três equações lineares e três variáveis desconhecidas (x, y e z). Podemos representar esse sistema na forma matricial como: | 3 2 -1 | | x | | 1 | | 2 -2 4 | x | y | = |-2 | |-1 1/2 -1| | z | | 0 | Essa forma matricial é chamada de matriz aumentada do sistema. Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.

Resolvendo o Sistema

Existem diversas maneiras de resolver um sistema de equações lineares, mas aqui vamos apresentar o método da eliminação de Gauss-Jordan. Esse método consiste em transformar a matriz aumentada do sistema em uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas, em que as equações são organizadas de forma que as incógnitas x, y e z apareçam em ordem crescente. O primeiro passo é escolher uma das equações para ser a primeira equação do sistema escalonado. Podemos escolher qualquer uma delas, mas é mais fácil escolher aquela que tenha o coeficiente de x mais alto, que nesse caso é a primeira equação. Vamos, então, usar a primeira equação para eliminar o termo x das outras duas equações. Para isso, vamos subtrair duas vezes a primeira equação da segunda equação e adicionar a primeira equação à terceira equação. Isso nos dá: | 3 2 -1 | | x | | 1 | | 0 -6 6 | x | y | = |-4 | | 0 5/2 -2 | | z | | 1 | Agora, temos um sistema em que a primeira equação só possui a variável x, a segunda equação possui as variáveis y e z, mas não x, e a terceira equação possui as variáveis x e z, mas não y. O próximo passo é escolher a segunda equação do sistema escalonado. Podemos escolher aquela que tenha o coeficiente de y mais alto, que nesse caso é a terceira equação. Vamos usar a terceira equação para eliminar o termo y da segunda equação. Para isso, vamos subtrair (5/2) vezes a terceira equação da segunda equação. Isso nos dá: | 3 2 -1 | | x | | 1 | | 0 -6 0 | x | y | = |-9/2| | 0 0 -9/2| | z | | -3/2| Agora, temos um sistema escalonado em que a primeira equação só possui a variável x, a segunda equação só possui a variável y e a terceira equação só possui a variável z. Podemos, então, resolver cada equação separadamente para encontrar os valores de x, y e z. A terceira equação nos dá z = (-3/2) / (-9/2) = 1/3. Substituindo esse valor na segunda equação, temos -6y = (-9/2) – (5/2)(1/3) = -11/3, o que nos dá y = 11/18. Finalmente, substituindo os valores de y e z na primeira equação, temos 3x + 2(11/18) – (1/3) = 1, o que nos dá x = 1/2. Portanto, a solução do sistema é x = 1/2, y = 11/18 e z = 1/3.

Conclusão

Neste artigo, vimos como resolver um sistema de equações lineares utilizando o método da eliminação de Gauss-Jordan. Esse método é muito útil para sistemas pequenos como o que consideramos aqui, mas pode ser mais trabalhoso para sistemas maiores. Existem outras técnicas disponíveis para resolver sistemas de equações lineares, como o método de substituição e o método de eliminação de Gauss, mas todas elas requerem uma boa compreensão dos conceitos básicos de álgebra linear.

FAQs

1. O que são equações lineares?

Equações lineares são equações que envolvem somente somas e subtrações de variáveis elevadas a primeira potência. Essas equações podem ser representadas graficamente como retas em um plano cartesiano.

2. O que é um sistema de equações lineares?

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares que devem ser resolvidas simultaneamente. Cada equação representa uma restrição sobre as variáveis do sistema, e a solução do sistema é um conjunto de valores para as variáveis que satisfazem todas as restrições.

3. Quais são as principais técnicas para resolver sistemas de equações lineares?

Existem diversas técnicas disponíveis para resolver sistemas de equações lineares, como o método da eliminação de Gauss-Jordan, o método de substituição e o método de eliminação de Gauss. Cada técnica possui suas vantagens e desvantagens, e a escolha da técnica mais adequada depende das características do sistema em questão.